已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an=
1
4
Sn+1-
1
2
(其中n∈N*)

(I)求a2,a3
(Ⅱ)設(shè)bn=
1
2
an+1-an
,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出其通項;
(Ⅲ)設(shè)cn=
22n+1
anan+1
,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn
分析:(I)在an=
1
4
Sn+1-
1
2
(其中n∈N*)
.中依次令n=1,n=2,求得a2,a3;
(Ⅱ)由an=
1
4
Sn+1-
1
2
得,an+1=
1
4
Sn+2-
1
2
,an+1-an=
1
4
an+2
,
1
2
an+1-an=
1
4
an+2-
1
2
an+1=
1
2
(
1
2
an+2-an+1)
,構(gòu)造得出數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列
(Ⅲ)由(II)3•2n-2=
1
2
an+1-an
3
4
=
an+1
2n+1
-
an
2n
,令dn=
an
2n
d1=
a1
2
=
1
2
,得出數(shù)列{dn}是首項為
1
2
,公差為
3
4
的等差數(shù)列
.,dn=
1
2
+(n-1)
3
4
=
3n-1
4

cn=
22n+1
anan+1
=
1
dndn+1
=
4
3
(
1
dn
-
1
dn+1
)
,Tn=
4
3
(
1
d1
-
1
d2
+
1
d2
-
1
d3
+…+
1
dn
-
1
dn+1
)=
4
3
(2-
4
3n+2
)=
8n
3n+2
解答:解:(I)Sn+1=4an+2,當n=1時,a1+a2=4a1+2,a2=5;(1分)
當n=2時,a1+a2+a3=4a2+2,6+a3=22,a3=16;(2分)
(II)由an=
1
4
Sn+1-
1
2
得,an+1=
1
4
Sn+2-
1
2
an+1-an=
1
4
an+2

1
2
an+1-an=
1
4
an+2-
1
2
an+1=
1
2
(
1
2
an+2-an+1)
,
bn=
1
2
bn+1
bn+1
bn
=2
∴數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.(4分)
b1=
1
2
a2-a1=
3
2
,
bn=
3
2
2n-1=3•2n-2
(5分)
(III)由(II)
3•2n-2=
1
2
an+1-an,
3
4
=
an+1
2n+1
-
an
2n
,令dn=
an
2n
,d1=
a1
2
=
1
2

數(shù)列{dn}是首項為
1
2
,公差為
3
4
的等差數(shù)列
.(7分)
dn=
1
2
+(n-1)
3
4
=
3n-1
4

cn=
22n+1
anan+1
=
1
dndn+1
=
4
3
(
1
dn
-
1
dn+1
)

Tn=
4
3
(
1
d1
-
1
d2
+
1
d2
-
1
d3
+…+
1
dn
-
1
dn+1
)=
4
3
(2-
4
3n+2
)=
8n
3n+2
(8分)
點評:本題考查等差數(shù)列的判定、通項公式求解.考查變形構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計算能力.
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