Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=-a_n²+2a_n（n∈N^*），且0＜a₁＜1．
（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：0＜a_n＜1；
（2）若b_n=lg（1-a_n），且a1=

9

10

，求無窮數(shù)列{

1

bn

}所有項(xiàng)的和．

Answer 1

分析：（1）要求用數(shù)學(xué)歸納法證明：按照兩個(gè)步驟進(jìn)行，特別注意遞推即可．
（2）由a_n+1=-a_n²+2a_n和b_n=lg（1-a_n）及a1=

9

10

，求得b_n列進(jìn)而求得{

1

bn

}，再取極限即可．

解答：（1）證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由條件知，成立
②假設(shè)n=k成立，即0＜a_k＜1成立，
當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=-a_k²+2a_k=-（a_k-1）²+1，
∵0＜a_K＜1
∴0＜（a_k-1）²＜1
∴0＜-（a_k-1）²+1＜1
∴0＜a_K+1＜1
這就是說，當(dāng)=k+1時(shí)，0＜a_k＜1也成立．
根據(jù)①②知，對任意n∈N*，不等式0＜a_n＜1恒成立．

（2）解：1-a_n+1=（1-a_n）²，0＜a_n＜1；
lg（1-a_n+1）=lg（1-a_n）²，，即lg（1-a_n+1）=2lg（1-a_n）
即：b_n+1=2b_n
∴{b_n}是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
∴b_n=-2^n-1，∴

1

bn

= -

1

2n-1

無究數(shù)列{

1

bn

}所有項(xiàng)的和為：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

+…=

lim

n→∞

（

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

）=

lim

n→∞

[（-1）×

1-(  1 2 ) n

1- 1 2

]=-2×

lim

n→∞

（1-(

1

2

) n）=-2

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法和等比數(shù)列的求法及無窮數(shù)學(xué)所有項(xiàng)的和的求法．