Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A為橢圓E：+=1 （a＞b＞0）的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓E上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB=30°，則橢圓E的離心率等于    ．

Answer 1

【答案】分析：首先利用橢圓的對稱性和OABC為平行四邊形，可以得出B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對稱，進(jìn)而得到BC=OA=a；設(shè)B（-，y）C（，y），從而求出|y|，然后由∠OAB=∠COD=30°，利用tan30°=b/=，求得a=3b，最后根據(jù)a²=c²+b²得出離心率．
解答：解：∵AO是與X軸重合的，且四邊形OABC為平行四邊形
∴BC∥OA，
B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，
B、C的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)
∴B、C兩點(diǎn)是關(guān)于Y軸對稱的．
由題知：OA=a
四邊形OABC為平行四邊形，所以BC=OA=a
可設(shè)B（-，y）C（，y）
代入橢圓方程解得：|y|=
設(shè)D為橢圓的右頂點(diǎn)，因?yàn)椤螼AB=30°，四邊形OABC為平行四邊形
所以∠COD=30°
對C點(diǎn)：tan30°=b/=
解得：a=3b
根據(jù)：a²=c²+b²
得：a²=c²+
e²=
e=
故答案為：．
點(diǎn)評：本題考查了橢圓的對稱性以及簡單性質(zhì)，由橢圓的對稱性求出B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)進(jìn)而得到a=3b是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．