（本題滿分14分）

已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓的左右頂點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.  

證明：以線段為直徑的圓恒過軸上的定點.

 

【答案】

（1）； （2）

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，， …………1分  而，……………2分

且.  …………3分       解得，……………4分

所以，橢圓的方程為.    ……………5分

（2）由題可得.設，   ……………6分

直線的方程為，    ……………7分

令，則，即； ……………8分

直線的方程為，   ……………9分

令，則，即； ……………10分

證法1：設點在以線段為直徑的圓上，則，

即，         …………11分

，而，即，，或.                               ……………13分

故以線段為直徑的圓必過軸上的定點

、.                                  ……………14分

證法2：以線段為直徑的圓為

即          ………11分

令，得，    ……………12分

而，即，，或 

……………13分

故以線段為直徑的圓必過軸上的定點

、.                          ……………14分

證法3：令，則，令，得，同理得.

∴以為直徑的圓為，令解得 

∴圓過                          ……………11分

由前，對任意點,可得,  

∴∴在以為直徑的圓上.

同理，可知也在為直徑的圓上.                   ……………13分

∴故以線段為直徑的圓必過軸上的定點

、.                  …………………14分

考點：橢圓的標準方程；橢圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用；直線方程的點斜式。

點評：此題的第二問給出了三種方法來解答，我們要熟練掌握每一種方法。這是作圓錐曲線有關問題的基礎。屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

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（本題滿分14分
A．選修4-4：極坐標與參數(shù)方程在極坐標系中，直線l 的極坐標方程為θ=
π
3
 （ρ∈R ），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，曲線C的參數(shù)方程為
x=2cosα
y=1+cos2α
 （α 參數(shù)）．求直線l 和曲線C的交點P的直角坐標．
B．選修4-5：不等式選講
設實數(shù)x，y，z 滿足x+y+2z=6，求x2+y2+z2 的最小值，并求此時x，y，z 的值．

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(Ⅰ)若AB=[0,3]，求實數(shù)m的值

(Ⅱ)若ACRB，求實數(shù)m的取值范圍

 

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(本題滿分14分)

已知點是⊙：上的任意一點，過作垂直軸于,動點滿足。

（1）求動點的軌跡方程； 

（2）已知點，在動點的軌跡上是否存在兩個不重合的兩點、，使 (O是坐標原點)，若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由。

 

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(本題滿分14分)已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的定義域；

(2)判斷的奇偶性；

(3)方程是否有根?如果有根，請求出一個長度為的區(qū)間，使

；如果沒有，請說明理由?(注：區(qū)間的長度為).

 

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