Question

設(shè)函數(shù)f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N+，b，c∈R）。
（1）設(shè)n≥2，b=1，c=-1，證明：f_n（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）設(shè)n=2，若對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，設(shè)x_n是f_n（x）在內(nèi)的零點(diǎn)，判斷數(shù)列x₂，x₃，…，x_n…的增減性。

Answer 1

解：（1）由于n≥2，b=1，c=-1，f_n（x）=xⁿ+bx+c=xⁿ+x-1，
∴f_n（）f_n（1）=（-）×1＜0，
∴f_n（x）在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)
再由f_n（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，可得f_n（x）在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)。
（2）當(dāng)n=2，函數(shù)f₂（x）=x²+bx+c，對任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
故函數(shù)f₂（x）在[-1，1]上的最大值與最小值的差M≤4。
當(dāng)＞1時(shí)，即b＞2或 b＜-2時(shí)，M=|f₂（-1）-f₂（1）|=2|b|＞4，這與題設(shè)相矛盾
當(dāng)-1≤-＜0時(shí)，即0＜b≤2時(shí)，M=f₂（1）-=≤4 恒成立
當(dāng)0≤-≤1 時(shí)，即-2≤b≤0時(shí)，M=f₂（-1）-=≤4 恒成立
綜上可得，-2≤b≤2。
（3）在（1）的條件下，x_n是f_n（x）=xⁿ+x-1在內(nèi)的唯一零點(diǎn)，
則有f_n（x_n）=+x_n-1=0，f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1=0
當(dāng)x_n+1∈時(shí)，f_n（x_n）=0=f_n+1（x_n+1）=+x_n+1-1＜+x_n+1-1=f_n（x_n+1）．由（1）知，f_n（x）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故有x_n＜x_n+1，故數(shù)列x₂，x₃，…，x_n單調(diào)遞增數(shù)列。