Question

5．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，當(dāng)n≥2時，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+n-1，設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1，則$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{20}}$等于（　�。�

• A． $\frac{19}{10}$
• B． $\frac{29}{20}$
• C． $\frac{40}{21}$
• D． $\frac{36}{19}$

Answer 1

分析 當(dāng)n≥2時，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+n-1，即有$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=n+1$
可得（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}_{1}}）+（\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}）+…（\frac{{a}_{n}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}）$+（$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$）+…+（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）=1+2+…+（n-1）
b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）
則$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{20}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）即可求解

解答 解：∵當(dāng)n≥2時，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$+n-1，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=n+1$
$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=1，\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}=2，…\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}=n-1$
∴（$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{2}_{1}}）+（\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}）+…（\frac{{a}_{n}}{{2}^{2}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}）$+（$\frac{{a}_{3}}{{2}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$）+…+（$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$）=1+2+…+（n-1）
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{（n-1）（1+n-1）}{2}=\frac{n（n-1）}{2}$
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-1=$\frac{n（n-1）}{2}$，$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）
∴則$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{20}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=2（$\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$）
故$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{20}}$等于2（1-$\frac{1}{20}$）=$\frac{19}{10}$
故選：A

點評 本題考查了累加法求數(shù)列通項，裂項相消法求和，屬于中檔題．