Question

3．已知函數(shù)g（x）=$\frac{x+1}{x+2}$，f（x）=x+$\frac{1}{g（x）}$．
（1）寫出函數(shù)f（x）的定義域
（2）求證．函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的解析式，求出f（x）的定義域即可；
（2）利用單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．

解答 解：（1）∵函數(shù)g（x）=$\frac{x+1}{x+2}$，
f（x）=x+$\frac{1}{g（x）}$=x+$\frac{x+2}{x+1}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2≠0}\\{\frac{x+1}{x+2}≠0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x≠-2}\\{x≠-1}\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?br />（-∞，-2）∪（-2，-1）∪（-1，+∞）；…（4分）
（2）f（x）=x+$\frac{x+2}{x+1}$=x+1+$\frac{1}{x+1}$
任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂；
則f（x₁）-f（x₂）=（x₁+1+$\frac{1}{{x}_{1}+1}$）-（x₂+1+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）
=（x₁-x₂）•$\frac{{{x}_{1}x}_{2}{+x}_{1}{+x}_{2}}{{（x}_{1}+1）{（x}_{2}+1）}$；
∵x₁，x₂∈（0，+∞），
∴x₁-x₂＜0，$\frac{{{x_1}{x_2}+{x_1}+{x_2}}}{{（{x_1}+1）（{x_2}+2）}}＞0$，
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根據(jù)函數(shù)的解析式求定義域以及利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．