【題目】已知非零數列的遞推公式為,.
(1)求證數列是等比數列;
(2)若關于的不等式有解,求整數的最小值;
(3)在數列中,是否一定存在首項、第項、第項,使得這三項依次成等差數列?若存在,請指出所滿足的條件;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析(2)整數的最小值為4.(3)存在,當且僅當,且為不小于4的偶數時,成等差數列
【解析】
(1)根據要證明是等比數列的數列,對已知的等式進行恒等變形,即可證明本結論;
(2)利用差比判斷數列的單調性,利用單調性求出整數的最小值;
(3)根據(1)求出數列的通項公式,結合已知,可以證明出存在首項、第項、第項,使得這三項依次成等差數列.
(1)由,得,
即,所以是首項為2,公比為2的等比數列.
(2)由(1)可得:,所以已知的不等式等價于
令,
則,
所以單調遞增,則
,
于是,即,故整數的最小值為4.
(3)由上面得,則
要使成等差數列,只需,
即
因為,則上式左端;又因為上式右端
于是當且僅當,且為不小于4的偶數時,成等差數列.
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【題目】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在坐標軸上,且經過、、三點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線:()與橢圓交于、兩點,證明直線與直線的交點在直線上.
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【題目】某研究所計劃利用“神七”宇宙飛船進行新產品搭載實驗,計劃搭載新產品A、B,要根據該產品的研制成本、產品重量、搭載實驗費用和預計產生收益來決定具體安排,通過調查,有關數據如表:
產品A(件) | 產品B(件) | ||
研制成本與塔載 | 20 | 30 | 計劃最大資 |
產品重量(千克/件) | 10 | 5 | 最大搭載 |
預計收益(萬元/件) | 80 | 60 |
試問:如何安排這兩種產品的件數進行搭載,才能使總預計收益達到最大,最大收益是多少?
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【題目】趙爽是我國古代數學家、天文學家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的),類比“趙爽弦圖”,可類似地構造如圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形,設,則( )
A. B.
C. D.
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【題目】已知過定點且與直線垂直的直線與軸、軸分別交于點,點滿足.
(1)若以原點為圓心的圓與有唯一公共點,求圓的軌跡方程;
(2)求能覆蓋的最小圓的面積;
(3)在(1)的條件下,點在直線上,圓上總存在兩個不同的點使得為坐標原點),求的取值范圍.
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