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已知函數f(x)=log2
x1-x
．
（Ⅰ）求函數的定義域；
（Ⅱ）根據函數單調性的定義，證明函數f（x）是增函數．
分析：（Ⅰ）由 
x
1-x
＞0得 x（1-x）＞0，由此解得x的范圍，即為函數的定義域．
（Ⅱ）證明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，化簡f（x1）-f（x2）=log2(
x1
x2
•
1-x2
1-x1
)＜0，從而可得f（x1）＜f（x2），從而得到函數f（x）是增函數．
解答：（Ⅰ）解：由 
x
1-x
＞0得 x（1-x）＞0，解得 0＜x＜1，∴函數的定義域為 （0，1）．
（Ⅱ）證明：任取x1、x2∈（0，1）且x1＜x2，則f(x1)-f(x2)=log2
x1
1-x1
-log2
x2
1-x2

=log2(
x1
1-x1
•
1-x2
x2
)=log2(
x1
x2
•
1-x2
1-x1
)．
∵0＜x1＜x2＜1，∴0＜1-x2＜1-x1＜1，∴0＜
x1
x2
＜1且  0＜
1-x2
1-x1
＜1，
即  0＜
x1
x2
•
1-x2
1-x1
＜1，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故函數f（x）是增函數．
點評：本題主要考查求函數的定義域的方法，函數的單調性的定義和證明，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調性；
（2）設f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數．

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