已知函數(shù)f(x)=log2
x1-x

(Ⅰ)求函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,證明函數(shù)f(x)是增函數(shù).
分析:(Ⅰ)由 
x
1-x
>0
得 x(1-x)>0,由此解得x的范圍,即為函數(shù)的定義域.
(Ⅱ)證明:任取x1、x2∈(0,1)且x1<x2,化簡f(x1)-f(x2)=log2(
x1
x2
1-x2
1-x1
)
<0,從而可得f(x1)<f(x2),從而得到函數(shù)f(x)是增函數(shù).
解答:(Ⅰ)解:由 
x
1-x
>0
得 x(1-x)>0,解得 0<x<1,∴函數(shù)的定義域?yàn)?nbsp;(0,1).
(Ⅱ)證明:任取x1、x2∈(0,1)且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=log2
x1
1-x1
-log2
x2
1-x2

=log2(
x1
1-x1
1-x2
x2
)=log2(
x1
x2
1-x2
1-x1
)

∵0<x1<x2<1,∴0<1-x2<1-x1<1,∴0<
x1
x2
<1
且  0<
1-x2
1-x1
<1
,
即  0<
x1
x2
1-x2
1-x1
<1
,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),
故函數(shù)f(x)是增函數(shù).
點(diǎn)評:本題主要考查求函數(shù)的定義域的方法,函數(shù)的單調(diào)性的定義和證明,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函數(shù)f(x)在P(0,f(0))的切線方程為y=5x+1,求實(shí)數(shù)a,b的值:
(2)當(dāng)a<3時(shí),令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx
的圖象在點(diǎn)P(2,f(2))處的切線方程為l:y=x+b
(1)求出函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式和切線l的方程;
(2)當(dāng)x∈[
1
e
,e]
時(shí)(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a為常數(shù)),直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的圖象都相切,且l與函數(shù)f(x)的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1.
(1)求直線l的方程及a的值;
(2)當(dāng)k>0時(shí),試討論方程f(1+x2)-g(x)=k的解的個(gè)數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)設(shè)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,若過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f(x)上,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b為實(shí)數(shù),x∈R,a∈R.
(1)當(dāng)1<a<2時(shí),若f(x)在區(qū)間[-1,1]上的最小值、最大值分別為-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的條件下,求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程;
(3)試討論函數(shù)F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

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