已知橢圓C：x2+
y2
4
=1，過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）若l與x軸相交于點(diǎn)P，且P為AM的中點(diǎn)，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)N（0，
1
2
），求|
NA
+
NB
|的最大值．
（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），
因?yàn)镻為AM的中點(diǎn)，且P的縱坐標(biāo)為0，M的縱坐標(biāo)為1，
所以
y1+1
2
=0，解得y1=-1，（1分）
又因?yàn)辄c(diǎn)A（x1，y1）在橢圓C上，
所以x12+
y12
4
=1，即x12+ 
1
4
=1，解得x1=±
3
2
，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（
3
2
，-1）或（-
3
2
，-1），
所以直線l的方程為4
3
x-3y+3=0，或4
3
x+3y-3=0．
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則
NA
=(x1，y1-
1
2
)，
NB
=(x2，y2-
1
2
)，
所以
NA
+
NB
=(x1+x2，y1+y2-1)，
則|
NA
+
NB
|  =
(x1+ x2)2+(y1+y2-1)2
，
當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，
其方程為x=0，A（0，2），B（0，-2），此時(shí)|
NA
+
NB
|=1；
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=kx+1，
由題設(shè)可得A、B的坐標(biāo)是方程組
y=kx+1
x2+
y2
4
=1
的解，
消去y得（4+k2）x2+2kx-3=0，
所以△=（2k）2+12（4+k2）＞0，x1+x2=
-2k
4+k2
，
則y1+y2=(kx1+1)+(kx2+1)=
8
4+k2
，
所以|
NA
+
NB
|2=(
-2k
4+k2
)2+(
8
4+k2
-1)2
=
-12k2
(4+ k2)2
+1≤1，
當(dāng)k=0時(shí)，等號(hào)成立，即此時(shí)|
NA
+
NB
|取得最大值1．
綜上，當(dāng)直線AB的方程為x=0或y=1時(shí)，|
NA
+
NB
|有最大值1．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：x2+
y2
m
=1的焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為
3
2
．過(guò)點(diǎn)M（0，3）的直線l與橢圓C相交于兩點(diǎn)A、B．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足
OA
+
OB
=λ
OP
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|
PA
|-|
PB
|＜
3
時(shí)，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a＞b＞0)，點(diǎn)P(b，
a
2
)在橢圓上，其左、右焦點(diǎn)為F1、F2．
（Ⅰ）求橢圓C的離心率；
（Ⅱ）若
PF1
•
PF2
=
1
2
，過(guò)點(diǎn)S(0，-
1
3
)的動(dòng)直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)在y軸上是否存在定點(diǎn)M，使以AB為直徑的圓恒過(guò)這個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的任意一點(diǎn)到它兩個(gè)焦點(diǎn)（-c，0），（c，0）的距離之和為2
2
，且它的焦距為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)M不在圓x2+y2=
5
9
內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的離心率為e，點(diǎn)F為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)A為其上頂點(diǎn)，過(guò)F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）試用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知橢圓C：x2+
y2
a2
=1（a＞1）的離心率為e，點(diǎn)F為其下焦點(diǎn)，點(diǎn)A為其上頂點(diǎn)，過(guò)F的直線l：y=mx-c（其中c=
a2-1
與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足
AP
•
AQ
=
a2(a+c)2-1
2-c2
．
（1）試用a表示m2；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（
1
3
，
1
2
），求m的取值范圍．
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