設(shè)函數(shù)f(x)=mlnx,h(x)=x-a.
(1)若a=0時,當x∈(1,+∞)時,f(x)的圖象總在h(x)的圖象的下方,求m的取值范圍;
(2)當m=2時,函數(shù)g(x)=f(x)-h(x)在[1,4]上恰有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍.
考點:利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)因f(x)圖象總在h(x)的圖象的下方從而mlnx<x,對?x∈(1,+∞)恒成立,而lnx>0、∴m<
x
lnx
在x∈(1,+∞)上恒成立,令H(x)=
x
lnx
,H′(x)=
lnx-1
(lnx)2
=0
,求出x的值,得到單調(diào)區(qū)間,求出m的范圍,問題得以解決;
(2)m=2時,g(x)=f(x)-h(x)=2lnx-x+a令g(x)=0,則a=x-2lnx在x∈[1,4]上恰有一解,m(x)=x-2lnx,x∈[1,4],令m′(x)=1-
2
x
=
x-2
x
=0

得x=2,再由m(x)的單調(diào)性并結(jié)合圖象從而求出a的范圍.
解答: 解(1)因f(x)圖象總在h(x)的圖象的下方
∴mlnx<x,對?x∈(1,+∞)恒成立,
而lnx>0、∴m<
x
lnx
在x∈(1,+∞)上恒成立,
H(x)=
x
lnx
,H′(x)=
lnx-1
(lnx)2
=0
,
得x=e,
∴當x∈(1,e)時,H(x)單調(diào)遞減
當x∈[e,+∞)時,H(x)單調(diào)遞增
∴H(x)min=H(e)=e,
∴m<e,
(2)當m=2時,g(x)=f(x)-h(x)=2lnx-x+a
令g(x)=0,則a=x-2lnx在x∈[1,4]上恰有一解,
m(x)=x-2lnx,x∈[1,4],
m′(x)=1-
2
x
=
x-2
x
=0
,得x=2,
m(x)在x∈[1,2]單調(diào)遞減,m(x)在x∈[2,4]單調(diào)遞增,
m(1)=1,m(2)=2-2ln2,m(4)=4-4ln2,0<m(2)<1
又m(4)>1
∴m(x)在x∈[1,4]上的圖象如圖
依圖可知a=2-2ln2或1<a≤4-4ln2.
點評:本題考察了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,滲透了數(shù)形結(jié)合思想,是一道綜合題.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=mx+lnx,m∈R
(Ⅰ)求f(x)的極值;
(Ⅱ)求證:f(x)最大值≥2
2+m
-3.

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2
,平面ABCD⊥平面ABE,
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x+y
2
稱為x,y的二維算術(shù)平均數(shù),G2=
xy
稱為x,y的二維幾何平均數(shù),H2=
2
1
x
+
1
y
稱為x,y的二維調(diào)和平均數(shù),其中x,y均為正數(shù).
(Ⅰ)試判斷G2與H2的大小,并證明你的猜想.
(Ⅱ)令M=A2-G2,N=G2-H2,試判斷M與N的大小,并證明你的猜想.
(Ⅲ)令M=A2-G2,N=G2-H2,P=Q2-A2,試判斷M、N、P三者之間的大小關(guān)系,并證明你的猜想.

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