Question

設(shè)p：函數(shù)f（x）=x²-2cx+c²+1在區(qū)間（0，1）上的最小值為1，q：不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，如果命題P或q中一個(gè)為真命題另一個(gè)為假命題，試求c的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)f（x）=x²-2cx+c²+1=（x-c）²+1在區(qū)間（0，1）上最小值為1，得出0＜c＜1；結(jié)合不等式x+|x-2c|＞1的解集為R?函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于1，得出c的取值范圍，最后利用P和Q中有且只有一個(gè)正確；分兩種情況：如果P正確，且Q不正確，；如果P不正確，且Q正確，分別求得c的取值范圍即可．

解答：解：f（x）=x²-2cx+c²+1=（x-c）²+1在區(qū)間（0，1）上最小值為1，∴0＜c＜1
不等式x+|x-2c|＞1的解集為R?函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于1
∵x+|x-2c|=

2x-2c，x≥2c 2c，x＜2c

∴函數(shù)y=x|x-2c|在R上的最小值為2c；
不等式x+|x-2c|＞1的解集為R?2c＞1?c＞

1

2

；
∵P和Q中有且只有一個(gè)正確；
∴如果P正確，且Q不正確，則0＜c≤

1

2

；如果P不正確，且Q正確，則c≥1，
綜上可知c的取值范圍為(0，

1

2

]∪[1，+∞)

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，綜合性比較強(qiáng)，難度也比較大．