Question

已知矩形ABCD中，，BC=1，現(xiàn)沿對(duì)角線BD折成二面角C-BD-A，使AC=1（如圖）．
（I）求證：DA⊥面ABC；
（II）求二面角C-BD-A平面角的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知AC=AD=1，DC=AB=可得AC⊥AD①AD⊥AB②，由①②根據(jù)線面垂直的判定定理可證DA⊥面ABC
（II）（法一：三垂線法）由（I）可得平面ABC⊥平面ABD．取AB中點(diǎn)M，則面面垂直的性質(zhì)定理可得CM⊥平面ABD，作MN⊥BD，從而可用三垂線法作出二面角的平面角∠CMN，再直角三角形△CMN中求解
（法二：定義法）同法一可得CM⊥平面ABD，由已知AB⊥AC，考慮取BD的中點(diǎn)H，則可得MN∥AD，從而有MH⊥AB，然后利用空間向量的方法：分別以AB，MH，MC為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量，平面ABD的一個(gè)法向量為，代入公式求解即可．
解答：解：（I）∵，
∴AC²+AD²=CD²，∴DA⊥AC．（3分）
又∵DA⊥AB，∴AB∩AC=A∴DA⊥平面ABC．（6分）
（II）方法一：取AB中點(diǎn)M，連CM，
過(guò)M作MN⊥BD交BD于N，
連CN．∵CA=CB=1，∴CM⊥AB，
∵DA?平面ABD，DA⊥平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABD．（8分）
∴CM⊥平面ABD，∴CM⊥BD．
又∵M(jìn)N⊥BD，MN∩CM=M
∴BD⊥平面CMN，
∴∠CNM為二面角C-BD-A的平面角．（10分）
∴，，
，∴∠CNM=60°，
故二面角C-BD-A平面角的度數(shù)為60°．（12分）

方法二：取AB中點(diǎn)M，連CM．
∵AC=AB=1，∴CM⊥AB．
又∵平面ABC⊥平面ABD，∴CM⊥平面ABD．
取BD中點(diǎn)H，∴MH∥AD．
∵AD⊥AB，∴MH⊥AB．
分別以AB，MH，MC為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．（6分）
得，
∴．（8分）
設(shè)平面BCD的法向量為，
∴．（10分）
又∵平面ABD的法向量為，
∴
顯然二面角C-BD-A為銳角，所以它的大小為60°．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系中的垂直關(guān)系：線面垂直的判定與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用、二面角的度量：二面角的平面角的作法①三垂線法，②定義法，利用空間向量的知識(shí)解決幾何中的量，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力