Question

過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，通過(guò)點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=2px（p＞0）．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線OA的方程為：y=

y1

x1

x=

y1

y 2 1 2p

x=

2p

y1

x，可得y_D=-

p2

y1

．設(shè)直線AB的方程為：my=x-

p

2

，與拋物線的方程聯(lián)立化為y²-2pm-p²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得y1y2=-p2．可得y_D=y₂．即可證明．

解答： 證明：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=2px（p＞0）．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線OA的方程為：y=

y1

x1

x=

y1

y 2 1 2p

x=

2p

y1

x，令x=-

p

2

，可得y_D=-

p2

y1

．
設(shè)直線AB的方程為：my=x-

p

2

，
聯(lián)立

my=x- p 2 y2=2px

，化為y²-2pm-p²=0，
∴y1y2=-p2．
∴y2=-

p2

y1

．
∴y_D=y₂．
∴直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，考查了平行線的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．