Question

1．在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)$C（{2，\frac{π}{6}}）$為圓心，2為半徑的圓．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C在矩陣$A=[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right.$$\left.\begin{array}{l}0\\ 2\end{array}]$的作用下變換為曲線C₁，求曲線C₁的方程；
（3）求圓C被直線$l：\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）所截得的弦長．

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)系方程，求得C點(diǎn)坐標(biāo)，半徑為2，寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）根據(jù)矩陣的變換$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{y′}{2}}\end{array}\right.$，將x′及y′代入圓C方程，即可求得曲線C₁的方程；
（3）將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，l過圓心，弦長就等于直徑，即可求得所截得的弦長．

解答 解：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=1}\end{array}\right.$，C點(diǎn)坐標(biāo)為：$C（{\sqrt{3}，1}）$…2分
圓C的直角坐標(biāo)方程：${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$…4分
（2）由$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=x′}\\{y=\frac{y′}{2}}\end{array}\right.$，
將x′及y′代入圓C方程整理得：$4{x^2}+{y^2}-8\sqrt{3}x-4y=0$…10分
（3）將直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成普通方程得：
直線l：$x-\sqrt{3}y=0$，過圓心，
所以弦長為4．…14分

點(diǎn)評 本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化普通方程，矩陣的變換，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．