Question

【題目】已知焦距為2的橢圓W： （a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為A1，A2，上、下頂點(diǎn)分別為B1，B2，點(diǎn)M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，且四條直線MA1，MA2，MB1，MB2的斜率之積為．

（1）求橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）如圖所示，點(diǎn)A，D是橢圓W上兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，AD⊥AB，點(diǎn)C在x軸上，且AC與x軸垂直，求證：B，C，D三點(diǎn)共線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)，建立方程求出a，b即可．

（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，利用消元法結(jié)合設(shè)而不求的思想進(jìn)行求解即可．

試題解析：

（1）由題意可知：2c=2，c=1，a2-b2=1，

∵M（x0，y0）為橢圓W上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，

∴，=（a2-），=（b2-），

==，

==（）2=，則a2=2b2，

∴a2=2，b2=1，

∴橢圓W的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）證明：不妨設(shè)點(diǎn)A（x1，1），D（x2，y2），B的坐標(biāo)（-x1，-y1），C（x1，0），

∵A，D在橢圓上，，=0，即（x1-x2）（x1+x2）+2（y1-y2）（y1+y2）=0，

∴=-，

由AD⊥AB，

∴kADkAB=-1，=-1，（-，）=-1，

∴=，

∴kBD-kBC=-=-=0，

kBD=kBC，

∴B，C，D三點(diǎn)共線．