Question

不等式x³-3x²+2-a＜0在區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是    ．

Answer 1

【答案】分析：變形為x³-3x²+2＜a在閉區(qū)間∈[-1，1]上恒成立，從而轉(zhuǎn)化為三次多項(xiàng)式函數(shù)在區(qū)間上求最值的問題，可以分兩步操作：①求出f（x）=x³-3x²+2的導(dǎo)數(shù)，從而得出其單調(diào)性；②在單調(diào)增區(qū)間的右端求出函數(shù)的極大值或區(qū)間端點(diǎn)的較大函數(shù)值，得出所給函數(shù)的最大值，實(shí)數(shù)a要大于這個值．
解答：解：原不等式等價于x³-3x²+2＜a區(qū)間x∈[-1，1]上恒成立，
設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3x²+2，x∈[-1，1]
求出導(dǎo)數(shù)：f^/（x）=3x²-6x，由f^/（x）=0得x=0或2
可得在區(qū)間（-1，0）上f^/（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
    在區(qū)間（0，1）上f^/（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
因此函數(shù)在閉區(qū)間[-1，1]上在x=0處取得極大值f（0）=2，并且這個極大值也是最大值
所以實(shí)數(shù)a＞2
故答案為：（2，+∞）
點(diǎn)評：本題利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性從而求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，處理不等式恒成立的問題時注意變量分離技巧的應(yīng)用，簡化運(yùn)算．