Question

若實數a≠0，函數f（x）=-2ax³-ax²+12ax+1，g（x）=2ax²+3．
（1）令h（x）=f（x）-g（x），求函數h（x）的極值；
（2）若在區(qū)間（0，+∞）上至少存在一點x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵h（x）=f（x）-g（x）=-2ax³-3ax²+12ax-2
∴h'（x）=-6ax²-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1）
令h'（x）=0，∴x=-2或x=1
若a＞0，當x＞-2時，h'（x）＞0；當x＜-2時，h'（x）＜0
∴x=-2是函數h（x）的極小值點，極小值為h（-2）=-20a-2；
當x＞1時，h'（x）＜0；當x＜1時，h'（x）＞0
∴x=1是函數h（x）的極大值點，極大值為h（1）=7a-2
若a＜0，易知，x=-2是函數h（x）的極大值點，極大值為h（-2）=-20a-2；x=1是函數h（x）的極小值點，
極小值為h（1）=7a-2
（2）若在（0，+∞）上至少存在一點x₀使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
則f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解，即h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解
由（1）知，當a＜0時，函數h（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增，且極小值為h（1）=7a-2＜0
∴此時h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解；
當a＞0時，函數h（x）在區(qū)間（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴要滿足條件應有函數h（x）的極大值h（1）=7a-2＞0，即
綜上，實數a的取值范圍為a＜0或．
分析：（1）對函數h（x）求導h'（x）=-6ax²-6ax+12a=-6a（x+2）（x-1），分a＞0，a＜0兩種情況分別討論求函數的極值即可
（2）若在（0，+∞）上至少存在一點x₀使得f（x₀）＞g（x₀）成立?f（x）＞g（x）在（0，+∞）上至少存在一解?h（x）＞0在（0，+∞）上至少存在一解，結合（1）知，分別討論a＜0時，函數h（x）在區(qū)間（0，+∞）上遞增，且極小值為h（1）＜0，滿足條件；當a＞0時，函數h（x）在區(qū)間（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，要滿足條件則函數h（x）的極大值h（1）＞0，從而可求a的范圍
點評：本題主要考查了利用函數的導數求解函數 單調性及函數的極值，方程與函數、不等式的相互轉化的思想的應用，屬于綜合性試題．