Question

如圖，橢圓+=1 （a＞b＞0）的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，已知點(diǎn)B在直線l：y=-1上，且橢圓的離心率e=．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l于點(diǎn)C，N為線段BC的中點(diǎn)，求證：OM⊥MN．

Answer 1

（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）依題意，得b=1． （1分）
∵e==，a²-c²=b²=1，
∴a²=4．（3分）
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)P（x₁，y₁），x₁≠0，
則Q（0，y₁），且．
∵M(jìn)為線段PQ中點(diǎn)，∴M（）．（5分）
又A（0，1），∴直線AM的方程為y=．
∵x₁≠0，∴y₁≠1．
令y=-1，得C（）． （8分）
又B（0，-1），N為線段BC的中點(diǎn)，
∴N（，-1）．（9分）
∴=（）． （10分）
∴=+y₁•（y₁+1）
=+
=
=1-（1+y₁）+y₁=0．（12分）
∴OM⊥MN．
分析：（Ⅰ）依題意，得b=1．由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），x₁≠0，則Q（0，y₁），且．由M為線段PQ中點(diǎn)，知M（）．由A（0，1），知直線AM的方程為y=．由此能夠證明OM⊥MN．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查線段垂直的證明．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓與直線的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．