Question

已知三條直線l₁：2x-y+a=0（a＞0），直線l₂：-4x+2y+1=0和直線l₃：x+y-1=0，且l₁與l₂的距離是．
（1）求a的值；
（2）求l₃到l₁的角θ；
（3）能否找到一點P，使得P點同時滿足下列三個條件：①P是第一象限的點；②P點到l₁的距離是P點到l₂的距離的；③P點到l₁的距離與P點到l₃的距離之比是：？若能，求P點坐標(biāo)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識點是兩條平行直線間的距離、線線夾角及點到直線的距離公式，
（1）由l₁與l₂的距離是，我們代入兩條平行直線間的距離公式，可得一個關(guān)于a的方程，解方程即可求a的值；
（2）由已知中l(wèi)₁：2x-y+a=0（a＞0），直線l₃：x+y-1=0，我們易得到直線l₃及l(fā)₁的斜率，代入tanθ=||，即可得到l₃到l₁的角θ；
（3）設(shè)P（x，y），由點到直線距離公式，我們可得到一個關(guān)于x，y的方程組，解方程組即可得到滿足條件的點的坐標(biāo)．
解答：解：（1）l₂即2x-y-=0，
∴l(xiāng)₁與l₂的距離d==．
∴=．∴|a+|=．
∵a＞0，∴a=3．
（2）由（1），l₁即2x-y+3=0，∴k₁=2．而l₃的斜率k₃=-1，
∴tanθ===-3．
∵0≤θ＜π，∴θ=π-arctan3．
（3）設(shè)點P（x，y），若P點滿足條件②，
則P點在與l₁、l₂平行的直線l′：2x-y+C=0上，
且=，即C=或C=，
∴2x-y+=0或2x-y+=0；
若P點滿足條件③，由點到直線的距離公式，
有=，
即|2x-y+3|=|x+y-1|，
∴x-2y+4=0或3x+2=0．
由P在第一象限，∴3x+2=0不可能．
聯(lián)立方程2x-y+=0和x-2y+4=0，應(yīng)舍去．解得x=-3，y=，
由2x-y+=0，x-2y+4=0，
解得x=，y=．
∴P（，）即為同時滿足三個條件的點．
點評：（1）線線間距離公式只適用兩條平行直線，且要將直線方程均化為A、B值相等的一般方程．
（2）線線夾角只能為不大于90°的解，故tanθ=||．