Question

如圖，AB為圓O的直徑，點C為圓O上異于A、B的一點，PA⊥平面ABC，點A在PB、PC上的射影分別為點E、F．
（1）求證：PB⊥平面AFE；
（2）若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱錐C-PAB的體積與此三棱錐的外接球（即點P、A、B、C都在此球面上）的體積之比．

Answer 1

分析：（1）由已知中PA⊥面ABC，AB是圓O的直徑，可得BC⊥PA，BC⊥AC，則BC⊥面PAC，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得AF⊥BC，結(jié)合AF⊥PC可得AF⊥面PBC，再由線面垂直的性質(zhì)可得PB⊥AF，結(jié)合PB⊥AE，由線面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）V_C-PAB=V_P-ABC，計算出三角形ABC的面積及高代入棱錐體積公式，即可得到答案，取PB的中點M，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得M為三棱錐外接球的球心，求出球半徑，代入球的體積公式，即可求出答案．

解答：證明：（1）∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BC⊥PA，又AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC
所以BC⊥面PAC，又因AF?面PAC，
所以AF⊥BC，又因AF⊥PC，
所以AF⊥面PBC，又因PB?面PBC，
所以PB⊥AF，又因PB⊥AE，所以PB⊥面AFE．（5分）
（2）VC-PAB=VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

1

2

×AC•BC•PA=2

3

，
取PB的中點M，由直角三角形性質(zhì)得，PM=AM=BM=CM，故三棱錐的外接球球心為M，
其半徑為

1

2

PB=

5

2

，所以V球M=

4

3

π(

5

2

)3=

5π

6

，體積之比為

12 3

5π

．（10分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，球內(nèi)接多面體，棱錐的體積和球的體積，其中（1）的關鍵是熟練掌握線線垂直與線面垂直之間的轉(zhuǎn)化，（2）的關鍵是求出球的半徑．