Question

（2012•棗莊一模）甲、乙、丙三人分別獨(dú)立地解一道題，甲做對的概率是

1

2

，三人都做對的概率是

1

24

，三人全做錯(cuò)的概率是

1

4

，已知乙做對這道題的概率大于丙做對這道題的概率．
（1）分別求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
（2）設(shè)三人中做對這道題的人數(shù)為X，求橢機(jī)變量X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)出乙、丙兩人各自做對這道題的概率，再用這兩個(gè)概率表示甲、乙、丙三人都做對的概率，甲、乙、丙三人全做錯(cuò)的概率，根據(jù)已知，利用乙做對這道題的概率大于丙做對這道題的概率，即可求出；
（2）確定X的所有可能取值為0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求得橢機(jī)變量X的分布列和期望．

解答：解：（1）分別記甲、乙、丙三人各自全做對這張?jiān)嚲矸謩e為事件A，B，C，則P（A）=

1

2

根據(jù)題意得

1 2 P(B)P(C)= 1 24 (1- 1 2 )(1-P(B))(1-P(C))= 1 4

∵乙做對這道題的概率大于丙做對這道題的概率，
∴P（B）=

1

3

，P（C）=

1

4

；
（2）由題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，則
P（X=1）=

1

2

×(1-

1

3

)×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

2

)×(1-

1

3

)×

1

4

=

11

24

∵P（X=0）=

1

4

，P（X=3）=

1

24

∴P（X=2）=1-P（X=0）-P（X=1）-P（X=3）=

1

4

∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

EX=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．

點(diǎn)評：本題考查概率的計(jì)算，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．