Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知四點(diǎn)A（2，0），B（-2，0），C（0，-2），D（-2，-2），把坐標(biāo)系平面沿y軸折為直二面角．
（1）求證：BC⊥AD；
（2）求二面角C-AD-O的大�。�
（3）求三棱錐C-AOD的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折前后有些幾何量不變可知BC⊥OD，折起后OD為AD在面BOCD上的射影，由三垂線定理知BC⊥AD；
（2）設(shè)BC交OD于E點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥DA于F，連接CF，則CF⊥AD，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠CFE為所求二面角的平面角，在三角形CFE中求出此角即可；
（3）先將三棱錐C-AOD的體積轉(zhuǎn)化成求三棱錐A-COD的體積，再利用體積公式進(jìn)行求解即可．

解答：解：（1）∵BOCD為正方形，
∴BC⊥OD，折起后OD為AD在面BOCD上的射影，由三垂線定理知：BC⊥AD（3分）

（2）設(shè)BC交OD于E點(diǎn)，過(guò)E作EF⊥DA于F，連接CF，則CF⊥AD，
則∠CFE為所求二面角的平面角．
顯然CE=

2

，在Rt△AOD中，OA=2，OD=2

2

，則AD=2

3

，EF=

1

2

•

OA•OD

AD

=

6

3

，
∴tan∠CFE=

CE

EF

=

3

，∴∠CFE=60°
∴二面角C-AD-O的大小為60°
（3）VC-AOD=VA-COD=

1

3

(

1

2

×2×2)×2=

4

3

（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三垂線定理，以及二面角的度量和體積的求解等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力、推理能力，以及轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，屬于中檔題．