Question

（2012•甘肅一模）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都相等，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC₁的中點(diǎn)，AE交A₁D于點(diǎn)H．
（1）求證：AE⊥平面A₁BD；
（2）求二面角D-BA₁-A的大小（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（1）先證明AE⊥A₁D，再利用平面ABC⊥平面ACC₁A₁，證明BD⊥平面ACC₁A₁，可得AE⊥BD，利用線面垂直的判定，即可得到結(jié)論；
（2）連接AB₁，交A₁B于點(diǎn)F，連接HF，證明∠AFH是二面角D-BA₁-A的平面角，從而可求二面角D-BA₁-A的大�。�

解答：（1）證明：∵ACC₁A₁是正方形，D是棱AC的中點(diǎn)，E是棱CC₁的中點(diǎn)，
∴tan∠EAC=tan∠DA₁A=

1

2

，∴∠EAC=∠DA₁A
∵∠ADA₁+∠DA₁A=90°，∴∠ADA₁+∠EAC=90°
∴AE⊥A₁D
∵△ABC為正三角形，D是棱AC的中點(diǎn)，
∴BD⊥AC
∵平面ABC⊥平面ACC₁A₁，平面ABC∩平面ACC₁A₁=AC，
∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴AE⊥BD
∵A₁D∩BD=D
∴AE⊥平面A₁BD；
（2）解：連接AB₁，交A₁B于點(diǎn)F，連接HF
∵ABB₁A₁是正方形，∴AB₁⊥A₁B
∵AH⊥平面A₁BD，∴HF⊥A₁B
∴∠AFH是二面角D-BA₁-A的平面角
設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為2，則在正方形ABB₁A中，AF=

2

在直角△ADA₁中，AH=

AD•AA1

A1D

=

2 5

5

∴在直角△AFH中，sin∠AFH=

AH

AF

=

10

5

∴二面角D-BA₁-A的平面角的大小為arcsin

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面位置關(guān)系、二面角大小，考查轉(zhuǎn)化的思想方法，空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．