Question

（2011•佛山二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為

3

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A，B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A(yíng)，B的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)AP，BP分別交直線(xiàn)l：x=2

2

于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．證明：以線(xiàn)段EF為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓過(guò)點(diǎn)（0，1），且離心率為

3

2

，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)出直線(xiàn)AP，BP的方程，求出E，F(xiàn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)M在以線(xiàn)段EF為直徑的圓上，

ME

•

MF

=0，即可得出結(jié)論．

解答：（1）解：由題意可知，b=1，…（1分）
∵e=

c

a

=

3

2

，a²=b²+c²．…（3分）
∴a=2，…（4分）
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（5分）
（2）證明：由題可得A（-2，0），B（2，0）．
設(shè)P（x₀，y₀），由題意可得，直線(xiàn)AP的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，…（7分）
令x=2

2

，則y=

(2 2 +2)y0

x0+2

，即E（2

2

，

(2 2 +2)y0

x0+2

）；                    …（8分）
直線(xiàn)BP的方程為y=

y0

x0-2

(x-2)，…（9分）
令x=2

2

，則y=

(2 2 -2)y0

x0-2

，即F（2

2

，

(2 2 -2)y0

x0-2

）；                   …（10分）
設(shè)點(diǎn)M（m，0）在以線(xiàn)段EF為直徑的圓上，則

ME

•

MF

=0，…（11分）
即(m-2

2

)2+

4y02

x02-4

=0，…（12分）
∵

x02

4

+y02=1，即4y02=4-x02，
∴(m-2

2

)2=1，
∴m=2

2

+1或m=2

2

-1．…（13分）
所以以線(xiàn)段EF為直徑的圓必過(guò)x軸上的定點(diǎn)（2

2

+1，0）或（2

2

-1，0）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．