Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c（a≤b≤c），且bcosC+ccosB=2asinA．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求證：${a^2}≥（2-\sqrt{3}）bc$；
（Ⅲ）若a=b，且BC邊上的中線AM長(zhǎng)為$\sqrt{7}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求出sinA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（Ⅱ）表示出所證不等式左右兩邊之差，利用余弦定理及完全平方公式性質(zhì)化簡(jiǎn)，判斷差的正負(fù)即可得證；
（Ⅲ）由a=b，得到A=B，求出C的度數(shù)，在三角形AMC中，由AM的長(zhǎng)與cosC的值，求出AC的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出三角形ABC面積即可．

解答 解：（Ⅰ）∵bcosC+ccosB=2asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=2sinAsinA，
即sin（B+C）=2sinAsinA?sinA=2sinAsinA，
∵sinA＞0，∴sinA=$\frac{1}{2}$，
∵a≤b≤c，
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$，
∴A=$\frac{π}{6}$；
（Ⅱ）∵a²-（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-2bccos$\frac{π}{6}$-（2-$\sqrt{3}$）bc=b²+c²-2bc=（b-c）²≥0，
∴a²≥（2-$\sqrt{3}$）bc；
（Ⅲ）由a=b及（Ⅰ）知A=B=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$，
設(shè)AC=x，則MC=$\frac{1}{2}$x，
又AM=$\sqrt{7}$，
在△AMC中，由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即x²+（$\frac{x}{2}$）²-2x•$\frac{x}{2}$•cos120°=7，
解得：x=2，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$x²sin$\frac{2π}{3}$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了余弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．