設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2acos[（k-1）π]lnx （k∈N*，a∈R）．
（1）若k=2011，a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若k是偶數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解：（1）因為k=2011，a=1，所以f（x）=x2-2lnx，f′（x）=，
由f′（x）＞0得x=1，且當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)．
故f（x）min=f（1）=1．（5分）
（2）當(dāng)k是偶數(shù)時，f（x）=x2-2alnx，f′（x）=，
所以當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；（9分）
當(dāng)a＜0時，由f′（x）=0得x=，且當(dāng)x＞時，f′（x）＞0，當(dāng)x＜時，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，）上是減函數(shù)，f（x）在（，+∞）上是增函數(shù)．（13分）
綜上可得當(dāng)a＞0時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞）；當(dāng)a＜0時，f（x）的減區(qū)間為（0，），增區(qū)間為（，+∞）．（14分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)k是偶數(shù)時，f（x）=x2-2alnx，求導(dǎo)函數(shù)，對a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；當(dāng)a＜0時，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+|x-2|-1，x∈R．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求函數(shù)f（x）的最小值．

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設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+a+3，g（x）=ax-2a．若存在x0∈R，使得f（x0）＜0與g（x0）＜0同時成立，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（x+1），a∈R．（注：(ln(x+1))′=
1x+1
）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性．
（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求f（x2）的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．
（1）若曲線y=f（x）在x=1處的切線為y=x，求實數(shù)m的值；
（2）當(dāng)m=2時，若方程f（x）-h（x）=0在[1，3]上恰好有兩個不同的實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m，使函數(shù)f（x）和函數(shù)h（x）在公共定義域上具有相同的單調(diào)性？若存在，求出m的值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=x2+x+aln（x+1），其中a≠0．
（1）若a=-6，求f（x）在[0，3]上的最值；
（2）若f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：不等式ln
n+1
n
＞
n-1
n3
（n∈N*）恒成立．

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