Question

（2011•福建模擬）已知函數(shù)f（x）=2x-2lnx
（Ⅰ）求函數(shù)在（1，f（1））的切線方程
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值
（Ⅲ）對于曲線上的不同兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點(diǎn)Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點(diǎn)Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的陪伴切線．已知兩點(diǎn)A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的陪伴切線l的方程．

Answer 1

分析：（I）利用切線的斜率是函數(shù)在切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)，求出切線斜率，再利用直線方程的點(diǎn)斜式求出切線方程．
（II）首先對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，解出x的值，分兩種情況討論：當(dāng)f′（x）＞0，即x＞1；當(dāng)f′（x）＜0，即0＜x＜1時，列表做出函數(shù)的極值點(diǎn)，求出極值．
（III）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)表示出切線的斜率，然后把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入到曲線的導(dǎo)函數(shù)中得到切線的斜率，根據(jù)伴隨切線的含義寫出弦AB的伴隨切線l的方程即可．

解答：解：（I）∵y=2x-2lnx，∴y′=2-2×

1

x

∴函數(shù)y=2x-2lnx在x=1處的切線斜率為0，
又∵切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）
切線方程為y=2；
（Ⅱ）f′(x)=2-

2

x

，x＞0．…（6分）
f′（x）=0，得x=1．
當(dāng)x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴當(dāng)x=1時，f（x）取得極小值f（1）=2．    沒有極大值． …（9分）
（Ⅲ）設(shè)切點(diǎn)Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率為kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

． …（10分）
由已知得，l∥AB，則2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，代入函數(shù)式得y₀=2（e-1）-2ln（e-1）
解出切點(diǎn)坐標(biāo)（e-1，2（e-1）-2ln（e-1））…（12分）
再由點(diǎn)斜式寫出方程y-2（e-1）+2ln（e-1）=

2e-4

e-1

（x-e-1），即：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)，
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、函數(shù)極值的求法，本題解題的關(guān)鍵是對函數(shù)求導(dǎo)，求出導(dǎo)函數(shù)等于0時對應(yīng)的變量的取值，再進(jìn)行討論，本題是一個中檔題目，這個知識點(diǎn)一般出現(xiàn)在綜合題目中．