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設
a
=（sin2
x
2
，cosx-sinx），
b
=（4cosx，cosx+sinx），f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g(x)=f(x)+2
3
|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有四個不同的交點，求實數k的取值范圍．
分析：（1）利用兩個向量數量積的公式求得f（x）的解析式．
（2）根據函數g(x)=f(x)+2
3
|sinx|=
4sin(x+
π
6
)-1 ，x∈[0 ，π]
-4sin(x-
π
6
) -1，x∈[π ，2π]
，畫出函數g（x）的圖象，數形結合求得k的范圍．
解答：解：（1）f（x）=
a
•
b
=4cosxsin2
x
2
+cos2x-sin2x=2cosx-1．
（2）函數g(x)=f(x)+2
3
|sinx|=2cosx+2
3
|sinx|-1=
4sin(x+
π
6
)-1 ，x∈[0 ，π]
-4sin(x-
π
6
) -1，x∈[π ，2π]
，
畫出函數g（x）的圖象，如圖：
故當函數g（x）的圖象與直線y=k有且僅有四個不同的交點時，k的范圍為[1，3）．
點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，方程根的存在性及個數判斷，體現了轉化、和數形結合的數學思想，
屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）
（1）當a=
∫
π
2
0
(cos2
x
2
-sin2
x
2
)dx時，若f（x）在（0，m]上是單調函數，求m的取值范圍；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值為
1
2
，求a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•閘北區(qū)一模）設f(x)=2cos2x+
3
sin2x，g(x)=
1
2
f(x+
5π
12
)+ax+b，其中a，b為非零實常數．
（1）若f(x)=1-
3
，x∈[-
π
3
，
π
3
]，求x；
（2）若x∈R，試討論函數g（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）已知：對于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），當且僅當x1=x2時，等號成立．若a≥2，求證：函數g（x）在R上是遞增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設數學公式，數學公式，其中a，b為非零實常數．
（1）若數學公式，數學公式，求x；
（2）若x∈R，試討論函數g（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（3）已知：對于任意x1，x2∈R，恒有sin2x1-sin2x2≤2（x1-x2），當且僅當x1=x2時，等號成立．若a≥2，求證：函數g（x）在R上是遞增函數．

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