Question

（2012•鷹潭一模）如圖，已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．

  5

  3

• C．

  6

  3

• D．

  2 5

  5

Answer 1

分析：連接OQ，PF₁，先利用三角形中位線定理證明OQ∥PF₁，OQ=

1

2

PF₁，而OQ即為圓的半徑b，從而得焦半徑PF₁=2b，再利用橢圓的定義，得PF₂=2a-2b，最后利用直線與圓相切的幾何性質(zhì)，證明PF₁⊥PF₂，從而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c間的等式，進(jìn)而計(jì)算離心率即可

解答：解：如圖：連接OQ，PF₁，∵點(diǎn)Q為線段PF₂的中點(diǎn)，∴OQ∥PF₁，OQ=

1

2

PF₁，
∴PF₁=2OQ=2b，
由橢圓定義，PF₁+PF₂=2a，∴PF₂=2a-2b
∵線段PF₂與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)Q，
∴OQ⊥PF₂，
∴PF₁⊥PF₂，且|F₁F₂|=2c，
∴（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²
即3b=2a，5a²=9c²，
∴e=

c

a

=

5

3

故選 B

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義及其運(yùn)用，直線與圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)及其離心率的求法，屬基礎(chǔ)題