Question

幾位同學(xué)在研究函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）時，給出了下面幾個結(jié)論：
①函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）；②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；③f（x）在（0，+∞）是增函數(shù)；④若規(guī)定f₁（x）=f（x），f_n+1（x）=f[f_n（x）]，則fn(x)=

x

1+n|x|

對任意n∈N^*恒成立，
上述結(jié)論中正確的個數(shù)有

 

個．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，以此分析命題：①函數(shù)f（x）的值域為（-1，1），可由絕對值不等式的性質(zhì)證明得；②若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），可根據(jù)函數(shù)的解析式判斷出其是一個增函數(shù)，；③與②的判斷方法一樣；④由其形式知，此是一個與自然數(shù)有關(guān)的命題，故采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，即可得答案．

解答：解：①|(zhì)x|＜1+|x|，故

x

1+|x|

∈(-1，1)，函數(shù)f（x）的值域為（-1，1），①正確；
②函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

是一個奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)=

x

1+x

=1-

1

1+x

，判斷知函數(shù)在（0，+∞）上是一個增函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù)f(x)=

x

1+|x|

（x∈R）是一個增函數(shù)，故若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂），此命題正確；
③由②已證，故此命題正確；
④當(dāng)n=1，f₁（x）=f（x）=

x

1+|x|

，f2(x)=

x 1+|x|

1+ |x| 1+|x|

=

x

1+2|x|

，假設(shè)n=k時，fk(x)=

x

1+k|x|

成立，則n=k+1時，fk+1(x)=

x 1+k|x|

1+  |x| 1+k|x|

=

x

1+(k+1)|x|

成立，由數(shù)學(xué)歸納法知，此命題正確．
故答案為 4

點評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的值域的求法等，本題涉及函數(shù)的三大性質(zhì)，以及數(shù)學(xué)歸納法證明，難度不小，綜合性強(qiáng)．求解本題的關(guān)鍵是用數(shù)學(xué)歸納法證明命題④，要注意數(shù)學(xué)歸納法的格式，數(shù)學(xué)歸納法的特征．第一題中值域的證明也是一個難點，作為一個判斷題，本題的難點就不難了．