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（本題滿分14分）

設x1，x2是函數的兩個極值點，且。

(1)   用a表示，并求出a的取值范圍.

(2)   證明: .

(3)   若函數 ,證明:當且x1<0時, .

 

【答案】

（1）0<a≤1

（2）略

（3）略

【解析】解：（1）∵f (x ) =x3 + x2–a2 x，∴f 1(x ) = a x2 + bx–a2 ……（1分）

∵x1 ，x 2是f (x )的兩個極值點，∴x1 ，x 2是方程a x2 + bx–a2=0的兩個實根（2分）

∵a > 0 ，∴x1 x 2=-a<0，x1 +x 2= ，∴︱x1︱+︱x 2︱=︱x1 - x 2 ︱==2，

∴，∴b2 = 4a2 －4a3 ……………………（4分）

∵b2≥0 ，∴4a2 －4a3≥0 ，∴0<a≤1…………………………（5分）

（2）∵b2 = 4a2 －4a3 （0<a≤1），令g(a)= 4a2 －4a3 ,∴ (a ) =8 a–12a2…（6分）

由 (a) >0 ,得0<a< , 由 (a) <0 ,得<a≤1.

∴g(a)在(0 , )上遞增，在( , 1)上遞減.……………………………（8分）

∴g(a)在(0 ,1)上的最大值是g()=.

∴g(a) ≤.∴ b2≤.∴ ∣b︱≤……（10分）

（3）∵x1 ，x 2是方程a x2 + bx–a2=0的兩個實根，∴f 1(x ) = a（x–x1）（x-x 2）.

∴h(x ) = a（x–x1）（x-x 2）－2a（x–x1）= a（x–x1）（x-x 2－2）………（11分）

∴∣h(x )∣= a∣x–x1∣∣x-x 2－2∣≤……（12分）

∵x>x1 ，∴x–x1>0. 又∵x1<0，∴x1 x 2<0 ，∴ x 2>0 .∴ x 2+2>2 .

又∵x<2，∴x－x 2－2<0 ……………………………………………（13分）

∴∣h(x )∣≤=.

又∵∣x1∣+∣x2∣=2,且x1<0， x 2>0 ，∴ x 2－x1=2 .

將其代入上式得∣h(x )∣≤4a.………………………………………（14分）

 

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π
3
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