Question

15．已知函數(shù)f（x）=x|x|-mx+1有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A． （0，2）
• B． （2，+∞）
• C． （-∞，-2）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 f（x）=x|x|-mx+1得x|x|+1=mx利用參數(shù)分離法得m=|x|+$\frac{1}{x}$，構(gòu)造函數(shù)g（x）=|x|+$\frac{1}{x}$，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答 解：由f（x）=x|x|-mx+1得x|x|+1=mx，
當(dāng)x=0時(shí)，方程不成立，
即x≠0，
則方程等價(jià)為m=|x|+$\frac{1}{x}$
設(shè)g（x）=|x|+$\frac{1}{x}$，
當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）=-x+$\frac{1}{x}$為減函數(shù)，
當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+$\frac{1}{x}$，
則g（x）在（0，1）上為減函數(shù)，則（1，+∞）上為增函數(shù)，
即當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得極小值同時(shí)也是最小值g（1）=1+1=2，
作出函數(shù)g（x）的圖象如圖：
要使f（x）=x|x|-mx+1有三個(gè)零點(diǎn)，
則等價(jià)為m=|x|+$\frac{1}{x}$有三個(gè)不同的根，
即y=m與g（x）有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則由圖象知m＞2，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（2，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用參數(shù)分離法以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．