Question

5．已知函數(shù)y=sin x的圖象經(jīng)過以下變換后得到y(tǒng)=f（x）的圖象：先向右平移 $\frac{π}{4}$； 然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍； 最后橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍；
（Ⅰ）寫出函數(shù)y=f（x）的解析式，并求其單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中作出函數(shù)的一個(gè)周期的圖象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移法則，得出函數(shù)y=f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）利用列表、描點(diǎn)、連線的方法得出函數(shù)在一個(gè)周期的圖象．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)y=sin x的圖象向右平移 $\frac{π}{4}$，得到y(tǒng)=sin（x-$\frac{π}{4}$）的圖象；
縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）的圖象；
橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的3倍，得到y(tǒng)=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）的圖象；
∴函數(shù)y=f（x）=3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+4kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{π}{2}$+4kπ，$\frac{3π}{2}$+4kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）列表如下；

$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
3sin（$\frac{1}{2}$x-$\frac{π}{4}$）	0	3	0	-3	0

用“五點(diǎn)法”在給定的坐標(biāo)系中作出函數(shù)的一個(gè)周期的圖象如圖所示；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也l考查了圖象平移與五點(diǎn)法畫圖的問題，是基礎(chǔ)題．