精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=3,AA1=6,M為AA1上的點(diǎn),且AM=2MA1,P是BC上一點(diǎn),且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M點(diǎn)的最短路線長為4
2
,設(shè)這條最短路線與C1C的交點(diǎn)為N.求:
(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長;
(2) PC和NC的長;
(3)此棱柱的表面積;
(4)平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大。ㄓ梅凑泻瘮(shù)表示).
分析:(1)直接求解三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長;
(2)利用側(cè)面展開圖,MP1就是由點(diǎn)P沿棱側(cè)面經(jīng)過CC1到點(diǎn)M的最短路線.設(shè)PC=x,通過解三角形求出 PC和NC的長;
(3)直接求出底面面積,側(cè)面面積即可得到此棱柱的表面積;
(4)連接PP1說明∠NHC所成二面就是平面NMP與平面ABC角的平面角,求出平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大。ㄓ梅凑泻瘮(shù)表示).
解答:解:(1)正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個(gè)長為9,寬為6的矩形,
其對角線長為
92+62
=
117
=3
13
;(3分)精英家教網(wǎng)
(2)如圖1,將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AC1在同一平面上,點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)P1的位置,連接MP1,則MP1就是由點(diǎn)P沿棱側(cè)面經(jīng)過CC1到點(diǎn)M的最短路線.設(shè)PC=x,
則P1C=x,在Rt△MAP1中,(3+x)2+42=32?x=1,
NC
MA
=
P1C
P1A
=
1
4
,∴NC=1
(6分)
(3)棱柱的表面積為S=S側(cè)+2S=6×9+2×
1
2
×32sin600
=54+
9
3
2
.(8分)
(4)連接PP1(如圖2),則PP1就是NMP與平面ABC的交線,作NH⊥PP1于H,又CC1⊥平面ABC,連接CH,由三垂線定理得,CH⊥PP1
∴∠NHC所成二面就是平面NMP與平面ABC角的平面角.(10分)
在Rt△PHC中,∵∠PCH=
1
2
∠PCP1=60°

CH=
1
2
,在Rt△NCH中tan∠NHC=
NC
CH
=
2
3
,
∠NHC=arctan
2
3
.(12分)
點(diǎn)評:本題考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,空間幾何問題常轉(zhuǎn)化為平面幾何問題解決,即空間問題平面化,要注意線線、線面、面面的平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.求角與距離的關(guān)鍵是把距離與角轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角與距離.
空間幾何中的角有三類:1、兩條異面直線所成的角:定義(略),范圍:(00,900];
求法:平移--構(gòu)成三角形,(一般是,見了中點(diǎn)找中點(diǎn),形成中位線);2、直線與平面所成的角:
定義(略),范圍:[00,900],求法:找射影--構(gòu)成直角三角形.(一般是,作垂線,連垂足與斜足即射影,斜線,這三條線組成直角三角形);3、二面角:定義(略),范圍:[00,1800],求法:找平面角,具體方法有四種:(1)定義法;(2)三垂線法;(3)垂面法;(4)射影面積法.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小為60°,則點(diǎn)C到平面C1AB的距離為( 。
A、
3
4
B、
1
2
C、
3
2
D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=1,D在棱BB1上,且BD=1,若AD與平面AA1CC1所成的角為a,則sina=
 

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精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D、E、G分別是AB、BB1、AC1的中點(diǎn),AB=BB1=2.
(Ⅰ)在棱B1C1上是否存在點(diǎn)F使GF∥DE?如果存在,試確定它的位置;如果不存在,請說明理由;
(Ⅱ)求截面DEG與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(Ⅲ)求B1到截面DEG的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=4,AB=2,M是AC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AA1上,AN=
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(Ⅰ)求BC1與側(cè)面ACC1A1所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角C1-BM-C的正切值;
(Ⅲ)證明MN⊥BC1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•馬鞍山二模)如圖,在正三棱柱ABC一DEF中,AB=2,AD=1,P是CF的延長線上一點(diǎn),過A、B、P三點(diǎn)的平面交FD于M,交EF于N.
(I)求證:MN∥平面CDE:
(II)當(dāng)平面PAB⊥平面CDE時(shí),求三梭臺MNF-ABC的體積.

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