Question

如圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)。

（1）求證：CD⊥平面A₁ABB₁；

（2）求證：AC₁//平面CDB₁；

（3）求直線B₁B和平面CDB₁所成角的大小。

Answer 1

解法一：（1）證明：∵ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

∴平面ABC⊥面A₁ABB₁，

∵AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

∴CD⊥AB，

∴CD⊥平面A₁ABB₁

（2）證明：連結(jié)BC₁，設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，連結(jié)DE。

                               

∵D是AB的中點(diǎn)，E是BC₁的中點(diǎn)，

∴DE//AC₁

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁，

∴AC₁//平面CDB₁

（3）解：由（1）CD⊥平面A₁ABB₁，

∴平面CDB₁⊥平面A₁ABB₁，且平面CDB₁平面A₁ABB₁=DB₁，

∴直線B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，

即∠BB₁D是直線B₁B和平面CDB₁所成的角

在Rt△DBB₁中，

∵

故，直線B₁B和平面CDB₁所成的角大小是

解法二

∵在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁，AC⊥BC，

∵AC、BC、CC₁兩兩垂直

如圖，以C為原點(diǎn)，直線CA，CB，CC₁分別為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=CC₁=2，則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C­­_­1（0，0，2），B₁（0，2，2），D（1，1，0）。

                               

（1）證明：∵

∴

CD⊥AB，CD⊥B₁B

又ABB₁B=B，

∴CD⊥平面A₁ABB₁

（2）證明：設(shè)BC₁與B₁C的交點(diǎn)為E，

則E（0，1，1，）

∵

∴

∴DE//AC₁

∵DE平面CDB₁，AC₁平面CDB₁

∴AC₁//平面CDB₁

（3）解：由（1）CD⊥平面A₁ABB₁，

∴平面CDB₁⊥平面A₁ABB₁，且平面CDB₁平面A₁ABB₁=DB₁，

∴直線B₁B和平面CDB₁所成的角就是B₁B和DB₁所成的角，

即∠BB₁D是直線B₁B和平面CDB₁所成的角

∵

∴

∴直線B₁B和平面CDB₁所成角的大小是。