已知數(shù)列{an}滿足關系式，且a1=2．
（Ⅰ）求a2，a3，a4；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）求證：．
【答案】分析：（1）根據(jù)遞推公式，計算即可．
（2）是個與自然數(shù)有關的命題，可考慮用數(shù)學歸納法．
（3）在（2）的基礎上，將從分母有理化，放縮兩個角度適當變形，考慮正負相消，使兩端和式出現(xiàn)命題中的形式．
解答：解：（Ⅰ）由題意，知，，．…（3分）
（Ⅱ）由，及a1=2，知an＞0．
下面用數(shù)學歸納法證明：
（1）當n=1時，a1=2滿足，成立．
（2）假設當n=k（k∈N*）時，成立，則
當n=k+1時，.．
下面用分析法證明：．
只需證，只需證，
只需證，只需證，此式顯然成立．
所以成立．從而．
由（1），（2）可知，對一切k∈N*，成立．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ），知，
而


∴
∴
即
點評：本題考查數(shù)列的遞推公式的直接應用，數(shù)學歸納法，及放縮法證明不等式．無法再進一步計算整理，故考慮逐項轉化，達到目的為止．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項，如果存在求出，若不存在說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項公式
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項的和S3k（用k，a表示）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項公式an等于
2n-1
2n-1
．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案