在平面四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且AB=2，EF=
2
，CD=
3
．若 
AC
•
BD
=13，則
AD
•
BC
的值為
 
．
分析：利用兩個(gè)向量的加減法及其幾何意義可得
EF
=
AB
+
DC
2
，平方可得
AB
•
DC
=
1
2
．又由
AC
•
BD
=13，可得
OC
•
OD
+
OA
•
OB
=13+
OB
•
OC
+
OA
•
OD
．代入
AD
•
BC
=（
OD
-
OA
）•（
OC
-
OB
），化簡(jiǎn)求得結(jié)果．
解答：精英家教網(wǎng)解：如圖所示：設(shè)AB∩DC=O，∵
AB
=
AE
+
EF
+
FB
=
EF
+
AD
-
BC
2
，
DC
=
DE
+
EF
+
FC
=
EF
+
BC
-
AD
2
，
兩式相加可得
EF
=
AB
+
DC
2
．
∵AB=2，EF=
2
，CD=
3
，平方可得 2=
4+3+2
AB
•
DC
2
∴
AB
•
DC
=
1
2
．
又∵
AC
•
BD
=（
OC
-
OA
）•（
OD
-
OB
）=
OC
•
OD
-
OB
•
OC
-
OA
•
OD
+
OA
•
OB
=13，
∴
OC
•
OD
+
OA
•
OB
=13+
OB
•
OC
+
OA
•
OD
．
∴
AD
•
BC
=（
OD
-
OA
）•（
OC
-
OB
）=
OC
•
OD
-
OB
•
OD
-
OA
•
OC
+
OA
•
OB
 
=
OC
•
OD
+
OA
•
OB
-
OB
•
OD
-
OA
•
OC
=13+
OB
•
OC
+
OA
•
OD
-
OB
•
OD
-
OA
•
OC

=13+
OB
•
DC
+
OA
•
CD
=13+
DC
•
AB
=13+
1
2
=13.5，
故答案為：13.5．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面四邊形ABCD中，若AC=3，BD=2，則(
AB
+
DC
)•(
AC
+
BD
)=
 
．
精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1，ACC1A1均為正方形，∠BAC=90°，點(diǎn)D是棱B1C1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A1D⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求二面角D-A1C-A的余弦值．
（文科）如圖甲，精英家教網(wǎng)在平面四邊形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如圖乙），設(shè)點(diǎn)E、F分別為棱AC、AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：DC⊥平面ABC；
（Ⅱ）設(shè)CD=a，求三棱錐A-BFE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=BC=CD=a，∠ABC=90°，∠BCD=135°，沿對(duì)角線AC將此四邊形折成直二面角．
（1）求證：AB⊥平面BCD
（2）求三棱錐D-ABC的體積
（3）求點(diǎn)C到平面ABD的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•武漢模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=1，∠BAD=θ，而△BCD是正三角形，
（1）將四邊形ABCD面積S表示為θ的函數(shù)；
（2）求S的最大值及此時(shí)θ角的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面四邊形ABCD中，已知AB=3，DC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且
AD
=3
AE
，
BC
=3
BF
．若向量
AB
與
DC
的夾角為60°，則
AB
•
EF
的值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案