Question

“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術(shù)具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟(jì)效益好的特點(diǎn)．研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時(shí)，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度x（單位：尾/立方米）的函數(shù)．當(dāng)x不超過4（尾/立方米）時(shí)，v的值為2（千克/年）；當(dāng)4≤x≤20時(shí)，v是x的一次函數(shù)；當(dāng)x達(dá)到20（尾/立方米）時(shí)，因缺氧等原因，v的值為0（千克/年）．
（1）當(dāng)0＜x≤20時(shí)，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；
（2）當(dāng)養(yǎng)殖密度x為多大時(shí)，魚的年生長量（單位：千克/立方米）f（x）=x•v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．

Answer 1

解：（1）由題意：當(dāng)0＜x≤4時(shí)，v（x）=2．…（2分）
當(dāng)4＜x≤20時(shí)，設(shè)v（x）=ax+b，顯然v（x）=ax+b在[4，20]是減函數(shù)，
由已知得，
解得…（4分）
故函數(shù)v（x）=…（6分）
（2）依題意并由（1），
得f（x）=，…（8分）
當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f（x）為增函數(shù)，
故f_max（x）=f（4）=4×2=8．…（10分）
當(dāng)4≤x≤20時(shí)，，
f_max（x）=f（10）=12.5．…（12分）
所以，當(dāng)0＜x≤20時(shí)，f（x）的最大值為12.5．
當(dāng)養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時(shí)，
魚的年生長量可以達(dá)到最大，最大值約為12.5千克/立方米．…（14分）
分析：（1）由題意：當(dāng)0＜x≤4時(shí)，v（x）=2．當(dāng)4＜x≤20時(shí)，設(shè)v（x）=ax+b，v（x）=ax+b在[4，20]是減函數(shù)，由已知得，能求出函數(shù)v（x）．
（2）依題意并由（1），得f（x）=，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f（x）為增函數(shù)，由此能求出f_max（x）=f（4），由此能求出結(jié)果．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法，考查函數(shù)最大值的求法及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)有生產(chǎn)生活中的實(shí)際應(yīng)用．