設(shè)f(x)=
x3
3
,對(duì)任意實(shí)數(shù)t,記gt(x)=t
2
3
x-
2
3
t

(I)求函數(shù)y=f(x)-g8(x)的單調(diào)區(qū)間;
(II)求證:(。┊(dāng)x>0時(shí),f(x)≥gt(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立;
(ⅱ)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x0,使得g8(x0)≥gt(x0)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
(I)y=
x3
3
-4x+
16
3
.由y'=x2-4=0,得x=±2.
因?yàn)楫?dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),y'>0,
當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),y'<0,
當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),y'>0,
故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2),(2,+∞),
單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,2).
(II)證明:(i)方法一:
h(x)=f(x)-gt(x)=
x3
3
-t
2
3
x+
2
3
t(x>0)
,則h′(x)=x2-t
2
3
,
當(dāng)t>0時(shí),由h'(x)=0,得x=t
1
3

當(dāng)x∈(x
1
3
,+∞)
時(shí),h'(x)>0,
所以h(x)在(0,+∞)內(nèi)的最小值是h(t
1
3
)=0

故當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥gt(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
方法二:
對(duì)任意固定的x>0,令h(t)=gt(x)=t
2
3
x-
2
3
t(t>0)
,則h′(t)=
2
3
t-
1
3
(x-t
1
3
)
,
由h'(t)=0,得t=x3
當(dāng)0<t<x3時(shí),h'(t)>0.
當(dāng)t>x3時(shí),h'(t)<0,
所以當(dāng)t=x3時(shí),h(t)取得最大值h(x3)=
1
3
x3

因此當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥g(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
(ii)方法一:f(2)=
8
3
=gt(2)

由(i)得,gt(2)≥gt(2)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
即存在正實(shí)數(shù)x0=2,使得gx(2)≥gt(2)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
下面證明x0的唯一性:
當(dāng)x0≠2,x0>0,t=8時(shí),f(x0)=
x03
3
,gx(x0)=4x0-
16
3
,
由(i)得,
x03
3
>4x0-
16
3
,
再取t=x03,得gx03(x0)=
x03
3
,
所以gx(x0)=4x0-
16
3
x03
3
=gx03(x0)
,
即x0≠2時(shí),不滿足gx(x0)≥gt(x0)對(duì)任意t>0都成立.
故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x0=2,
使得gx(x0)0≥gt(x0)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
方法二:對(duì)任意x0>0,gx(x0)=4x0-
16
3

因?yàn)間t(x0)關(guān)于t的最大值是
1
3
x03
,所以要使gx(x0)≥gt(x0
對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是:4x0-
16
3
1
3
x03
,
即(x0-2)2(x0+4)≤0,①
又因?yàn)閤0>0,不等式①成立的充分必要條件是x0=2,
所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x0=2,
使得gx(x0)≥gt(x0)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x33
-x2-3x-3a,(a大于0)
.(1)如果a=1,點(diǎn)p為曲線y=f(x)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求以P為切點(diǎn)的切線其斜率取最小值時(shí)的切線方程;
(2)若x∈[a,3a]時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
x3
3
,對(duì)任意實(shí)數(shù)t,記gt(x)=t
2
3
x-
2
3
t

(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)-g8(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)求證:(。┊(dāng)x>0時(shí),f(x)≥gt(x)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立;
(ⅱ)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)x0,使得g8(x0)≥gt(x0)對(duì)任意正實(shí)數(shù)t成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x3
3
+
a
2
x2+bx+c(a,b,c∈
R),函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)記為f'(x).
(1)若a=f'(2),b=f'(1),c=f'(0),求a、b、c的值;
(2)在(1)的條件下,記F(n)=
1
f′(n)+2
,求證:F(1)+F(2)+F(3)+…+F(n)<
11
18
(n∈
N*);
(3)設(shè)關(guān)于x的方程f'(x)=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α、β,且1<α<β<2.試問:是否存在正整數(shù)n0,使得|f′(n0)|≤
1
4
?說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
x3
3
-(a+1)x2+4ax+b,其中a、b∈R
若函數(shù)f(x)在x=3處取得極小值是
1
2
,
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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