Question

13．設(shè)$f（x）=3sin\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}$，將函數(shù)y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）的最大值為g（θ），則$cos（{θ+\frac{π}{6}}）$為-$\frac{12}{13}$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，輔助角公式化簡(jiǎn)g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的最值求得θ的值，可得$cos（{θ+\frac{π}{6}}）$的值．

解答 解：把$f（x）=3sin\frac{x}{2}-2cos\frac{x}{2}$ 的圖象上所有點(diǎn)向右平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位得到
函數(shù)y=g（x）=3sin$\frac{x-\frac{π}{3}}{2}$-2cos$\frac{x-\frac{π}{3}}{2}$
=3sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-2cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{9+4}$[$\frac{3}{\sqrt{13}}$•sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-$\frac{2}{\sqrt{13}}$cos（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）]=$\sqrt{13}$sin[（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-α]的圖象，
其中，cosα=$\frac{3}{\sqrt{13}}$，sinα=$\frac{2}{\sqrt{13}}$，
故當(dāng)（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{6}$）-α=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，即x=4kπ+2α+$\frac{4π}{3}$時(shí)，
函數(shù)g（x）的最大值為g（θ），故θ=4kπ+2α+$\frac{4π}{3}$，
則$cos（{θ+\frac{π}{6}}）$=cos（4kπ+2α+$\frac{4π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=cos（2α+$\frac{3π}{2}$）
=-sin2α=-2sinαcosα=-2•$\frac{3}{\sqrt{13}}$•$\frac{2}{\sqrt{13}}$=-$\frac{12}{13}$，
故答案為：-$\frac{12}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，輔助角公式以及正弦函數(shù)的最值，屬于中檔題．