Question

已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在處取得極值，且函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.

（2）若函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

  （1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)在處取得極值，知，再由函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)和函數(shù)的圖象特點(diǎn)判斷函數(shù)的極大值和極小值和0的大小關(guān)系即可解決，這是解決三次多項(xiàng)式函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的一般方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)形思想；（2）三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，要使三次函數(shù)在不是單調(diào)函數(shù)，則要滿足導(dǎo)數(shù)的，要使函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)，還要滿足三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上至少有一個(gè)零點(diǎn).

試題解析：（1），由，

所以，

可知：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增； 而.

所以函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)或，解得的取值范圍是.

.由條件知方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，且在至少有一個(gè)根.由 ；

由使得：.

綜上可知：的取值范圍是.

考點(diǎn)：三次函數(shù)的零點(diǎn)、三次函數(shù)的單調(diào)性.