Question

已知函數(shù)f（x）=

-2x2-4x-1，x≤0 log2(x+ 1 2 )，x＞0

．
（1）當(dāng)x＞0時，解不等式f（x）≥1；
（2）說明函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（不必證明單調(diào)性）；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個零點x₁，x₂，x₃，分別求m，x₁+x₂+x₃的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：計算題,作圖題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)x＞0時，不等式f（x）≥1可化為log2(x+

1

2

)≥1，從而求解；
（2）由二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)可知，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為[-1，0]；
（3）作出函數(shù)f（x）的圖象，由圖象求m，x₁+x₂+x₃的取值范圍．

解答： 解：（1）當(dāng)x＞0時，不等式f（x）≥1可化為
log2(x+

1

2

)≥1，
即x+

1

2

≥2，
解得x≥

3

2

；
（2）由二次函數(shù)及對數(shù)函數(shù)可知，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-1），（0，+∞），
單調(diào)減區(qū)間為[-1，0]；
（3）函數(shù)f（x）的圖象如下，

由圖象可知，-1＜m＜1，
x₁+x₂=-2，0＜x₃＜2，
∴x₁+x₂+x₃的取值范圍為（-2，0）．

點評：本題考查了分段函數(shù)的圖象作法及函數(shù)性質(zhì)，屬于難題．