Question

已知函數(shù)f（x）=2x-

1

2|x|

（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若對于t∈[1，2]時(shí)，不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)解析式分類：x≥0時(shí)和x＜0時(shí)，分別代入解析式求出2^x，再由指對互化求出x的值；
（2）根據(jù)t的范圍將轉(zhuǎn)化為：2t(2t-

1

2t

)+m≥0，再分離出m，設(shè)y=-2t(2t-

1

2t

)化簡后，把2^t作為一個(gè)整體求出范圍，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=2x-

1

2x

=2，
即（2^x）²-2×2^x-1=0，解得2x=1±

2

，
∵2^x＞0，∴2x=1+

2

，則x=log2(1+

2

)；
當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)=2x-

1

2-x

=0≠2不成立，
∴x=log2(1+

2

)，
（2）∵不等式2^tf（2t）+mf（t）≥0恒成立，
∴2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0恒成立，
∵t∈[1，2]，∴2t＞

1

2t

，
即2t(2t-

1

2t

)+m≥0恒成立，即m≥-2t(2t-

1

2t

)max，
設(shè)y=-2t(2t-

1

2t

)=-22t-1，
∵t∈[1，2]，∴2^t∈[2，4]，
∴當(dāng)2^t=2時(shí)，y取到最大值是-5，
∴m≥-5．

點(diǎn)評：本題考查了指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，主要利用整體思想和指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，以及二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，屬于中檔題．