定義在R上的函數(shù)y=f(x)是增函數(shù),且函數(shù)y=f(x-2)的圖象關(guān)于(2,0)成中心對稱,若s,t滿足不等式f(s2-4s)≥-f(4t-t2),若-2≤s≤2時(shí),則3t+s的最大值為
16
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分析:根據(jù)函數(shù)圖象平移的公式結(jié)合奇偶性定義,可得函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù).因此將f(s2-4s)≥-f(4t-t2)變形,化簡整理得到(s-t)(s+t-4)≥0,以s為橫坐標(biāo)、t為縱坐標(biāo)建立坐標(biāo)系,結(jié)合-2≤s≤2作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.再將z=3t+s對應(yīng)的直線l進(jìn)行平移,即可得到當(dāng)s=-2,t=6時(shí),3t+s的最大值為16.
解答:解:∵y=f(x-2)的圖象由y=f(x)函數(shù)圖象向右移2個(gè)單位而得
∴由y=f(x-2)圖象關(guān)于(2,0)點(diǎn)對稱,可得函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于(0,0)點(diǎn)對稱.
由此可得函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)
∴f(4t-t2)=-f(t2-4t)
∵f(s2-4s)≥-f(4t-t2),∴f(s2-4s)≥f(t2-4t)
又∵y=f(x)函數(shù)是增函數(shù),
∴s2-4s≥t2-4t,移項(xiàng)得:s2-4s-t2+4t≥0
化簡整理可得:(s-t)(s+t-4)≥0
以s為橫坐標(biāo)、t為縱坐標(biāo),建立如圖直角坐標(biāo)系,
則不等式
(s-t)(s+t-4)≥0
-2≤s≤2
表示的平面區(qū)域如圖所示
即△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,2),B(-2,6),C(-2,-2)
設(shè)z=F(s,t)=3t+s,將直線l:z=3t+s進(jìn)行平移,
可得當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),z達(dá)到最大值
∴zmax=F(s,t)=3×6+(-2)=16
故答案為:16
點(diǎn)評:本題以函數(shù)的奇偶性和不等式等價(jià)變形為載體,考查了函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)、二元一次不等式表示的平面區(qū)域和簡單的線性規(guī)劃等知識(shí),屬于中檔題.
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3
2
)f′(x)>0(x≠
3
2
)
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下列四個(gè)命題:
①“a>b”是“2a>2b”成立的充要條件;
②“a=b”是“l(fā)ga=lgb”成立的充分不必要條件;
③函數(shù)f(x)=ax2+bx(x∈R)為奇函數(shù)的充要條件是“a=0”
④定義在R上的函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)的必要條件是
f(-x)f(x)
=1”

其中真命題的序號是
①③
①③
.(把真命題的序號都填上)

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定義在R上的函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x3,則f(2011)=
-1
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