Question

若sin（α+β）=2sinα，且α，β均為銳角，求證：α＜β

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：由已知有0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，可得sinαcosβ＜sinα，cosαsinβ＜sinβ，即可證明即2sinα＜sinα+sinβ，即sinα＜sinβ，由α、β∈（0，

π

2

）可證α＜β．

解答： 解：∵2sinα=sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，
又α、β是兩銳角，0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，
∴sinαcosβ＜sinα，cosαsinβ＜sinβ，
∴2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ＜sinα+sinβ，即2sinα＜sinα+sinβ，
∴sinα＜sinβ，α、β∈（0，

π

2

），
∴α＜β．

點評：本題主要考察了兩角和與差的三角函數(shù)公式及三角恒等變換的應(yīng)用，分析證明要注意角的范圍，屬于基本知識的考查．