Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$．
（1）求f（x）的極小值和極大值；
（2）當(dāng)曲線y=f（x）的切線l的斜率為正數(shù)時(shí)，求l在x軸上的截距和取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出f′（x），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及函數(shù)的極值點(diǎn)的定義，即可求出函數(shù)的極值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，得出切線的方程，利用方程求出與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²e^-x，
∴f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=e^-x（2x-x²），
令f′（x）=0，解得x=0或x=2，
令f′（x）＞0，可解得0＜x＜2；
令f′（x）＜0，可解得x＜0或x＞2，
故函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）與（2，+∞）上是減函數(shù)，在區(qū)間（0，2）上是增函數(shù)．
∴x=0是極小值點(diǎn)，x=2極大值點(diǎn)，又f（0）=0，f（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
故f（x）的極小值和極大值分別為0，$\frac{4}{{e}^{2}}$；
（2）設(shè)切點(diǎn)為（x₀，${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$），
則切線方程為y-${{x}_{0}}^{2}{e}^{-{x}_{0}}$=${e}^{-{x}_{0}}$（2x₀-x₀²）（x-x₀），
令y=0，解得x=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
∵曲線y=f（x）的切線l的斜率為正數(shù)，
∴${e}^{-{x}_{0}}$（2x₀-x₀²）＞0，
∴0＜x₀＜2，
令g（x₀）=（x₀-2）+$\frac{2}{{x}_{0}-2}$+3，
則g′（x₀）=$\frac{（{x}_{0}-2）^{2}-2}{（{x}_{0}-2）^{2}}$．
當(dāng)0＜x₀＜2時(shí)，令g′（x₀）=0，解得x₀=2-$\sqrt{2}$
當(dāng)0＜x₀＜2-$\sqrt{2}$時(shí)，g′（x₀）＜0，函數(shù)g（x₀）單調(diào)遞減；
當(dāng)2-$\sqrt{2}$＜x₀＜2時(shí)，g′（x₀）＞0，函數(shù)g（x₀）單調(diào)遞增．
故當(dāng)x₀=2-$\sqrt{2}$時(shí)，函數(shù)g（x₀）取得極大值，也即最大值，且g（2-$\sqrt{2}$）=3-2$\sqrt{2}$．
綜上可知：切線l在x軸上截距的取值范圍是（-∞，3-2$\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、切線、函數(shù)的值域，綜合性強(qiáng)，考查了推理能力和計(jì)算能力．