Question

已知函數(shù)f（x）=2x+3，g（x）=3x-k（k∈R）．
（1）如果f（g（x））=g（f（x））恒成立，求k值，并求函數(shù)h（x）=f（x）+

g(x)

的值域；
（2）若k=-4，實(shí)數(shù)a滿足f（a²）=g（a²-a），求a

3

2

-a-

3

2

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分別求出f（g（x）），g（f（x）），帶入f（g（x））=g（f（x））即可求出k的值，從而求出h（x），通過(guò)求h′（x），根據(jù)h′（x）的符號(hào)，即可判斷函數(shù)h（x）在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求值域；
（2）求出g（x），根據(jù)f（a²）=f（a²-a）即可求出a，并得到

1

a

=3-a，用立方差公式將a

3

2

-a-

3

2

寫成因式乘積的形式，用上條件

1

a

=3-a并帶入a的值即可求出a

3

2

-a-

3

2

的值．

解答： 解：（1）由f（g（x））=g（f（x））得：
2（3x-k）+3=3（2x+3）-k
∴k=-6，
∴g（x）=3x+6；
∴h（x）=2x+3+

3x+6

，x≥-2；
h′（x）=2+

3

2 3x+6

＞0，
∴函數(shù)h（x）在[-2，+∞）上為增函數(shù)；
∴h（x）≥h（-2）=-1，
∴h（x）的值域?yàn)閇-1，+∞）．
（2）g（x）=3x+4，
由f（a²）=g（a²-a）得：
2a²+3=3（a²-a）+4
∴a²-3a+1=0；
∴a=

3± 5

2

，a(3-a)=1，

1

a

=3-a；
∴a

3

2

-a-

3

2

=(

a

-

1

a

)(a+

1

a

+1)=4(

a

-

3-a

)；
若a=

3+ 5

2

=

1

4

•(1+

5

)2，3-a=

3- 5

2

=

1

4

(1-

5

)2，原式=2（1+

5

-

5

+1）=4；
若a=

3- 5

2

=

1

4

(1-

5

)2，3-a=

3+ 5

2

=

1

4

(1+

5

)2，原式=2（

5

-1-1-

5

）=-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查求函數(shù)的解析式，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的值域，而求解第二問(wèn)的關(guān)鍵是得到

1

a

=3-a，并在求值中利用上該等式．