Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PD⊥面ABCD．AD=1，，BC=4．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求直線AB與平面PDC所成角；
（3）設(shè)點(diǎn)E在棱PC、上，，若DE∥面PAB，求λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)余弦定理求出DC的長(zhǎng)，而BC²=DB²+DC²，根據(jù)勾股定理可得BD⊥DC，而PD⊥面ABCD，則BD⊥PD，PD∩CD=D，根據(jù)線面垂直判定定理可知BD⊥面PDC，而PC在面PDC內(nèi)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知BD⊥PC；
（2）在底面ABCD內(nèi)過D作直線DF∥AB，交BC于F，分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)（1）知BD⊥面PDC，則就是面PDC的法向量，設(shè)AB與面PDC所成角大小為θ，利用向量的夾角公式求出θ即可．
（3）先求出向量，，，，，設(shè)=（x，y，z）為面PAB的法向量，根據(jù)•=0，•=0，求出，再根據(jù)DE∥面PAB，則•=0求出λ即可．
解答：解：（1）∵∠DAB=90°，AD=1，AB=，∴BD=2，∠ABD=30°，
∵BC∥AD∴∠DBC=60°，BC=4，由余弦定理得DC=2，（3分）
BC²=DB²+DC²，∴BD⊥DC，
∵PD⊥面ABCD，∴BD⊥PD，PD∩CD=D，∴BD⊥面PDC，
∵PC在面PDC內(nèi)，∴BD⊥PC（5分）

（2）在底面ABCD內(nèi)過D作直線DF∥AB，交BC于F，
分別以DA、DF、DP為x、y、z軸建立如圖空間坐標(biāo)系，（6分）
由（1）知BD⊥面PDC，∴就是面PDC的法向量，（7分）
A（1，0，0），B（1，，0），P（0，0，a）=（0，，0），=（1，，0），（8分）
設(shè)AB與面PDC所成角大小為θ，cosθ==，（9分）
∵θ∈（0，）∴θ=（10分）
（3）在（2）中的空間坐標(biāo)系中A、（1，0，0），B、（1，，0），P（0，0，a）C、（-3，，0），（11分）
=（-3，，-a），=（-3λ，λ，-aλ），
=+=（0，0，a）+（-3λ，λ，-aλ）=（-3λ，λ，a-aλ）（12分）
=（0，，0），=（1，0，-a），
設(shè)=（x，y，z）為面PAB的法向量，
由•=0，
得y=0，由•=0，得x-az=0，取x=a，z=1，=（a，0，1），（14分）
由D、E∥面PAB得：⊥，∴•=0，-3aλ+a-aλ=0，∴λ=（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及直線與平面所成角和與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，屬于中檔題．