Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f（x）=x²+2x．
（1）解關(guān)于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（2）如果對任意的x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對值不等式的解法,函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式可化為 2x²-|x-1|≤0，分類討論，卻掉絕對值，求出不等式的解集．
（2）由題意可得c≤2x² -|x-1|恒成立，令函數(shù)F（x）=

2x2-x+1，x≥1 2x2+x-1，x＜1

，分類討論求得F（x）的最小值，可得實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可得，g（x）和f（x）互為反函數(shù)，故g（x）=-x²+2x，
故不等式g（x）≥f（x）-|x-1|，即-x²+2x≥x²+2x-|x-1|，即2x² ≤|x-1|，
∴x-1≥2x² ①，或x-1≤-2x² ②，解①求得x∈∅；解②求得-1≤x≤

1

2

．
綜上可得，要求的不等式的解集為[-1，

1

2

]．
（2）由題意可得-x²+2x+c≤x²+2x-|x-1|恒成立，即c≤2x² -|x-1|恒成立．
令函數(shù)F（x）=

2x2-x+1，x≥1 2x2+x-1，x＜1

，∴當(dāng)x≥1時，F(xiàn)（x）min=F（1）=2；
當(dāng)x＜1時，F(xiàn)_min（x）=F（-

1

4

）=-

9

8

，
綜上，可得函數(shù)F（x）的最小值為-

9

8

，
所以，實(shí)數(shù)c的取值范圍是（-∞，-

9

8

]．

點(diǎn)評：本題考查求函數(shù)的解析式的方法以及解絕對值不等式的方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．